Un four qui chauffe. Des sacs de farine. Et une inquiétude très concrète.
Un boulanger veut sécuriser son coût de blé pour les six prochains mois. Aujourd’hui, la tonne vaut 200 €. Demain ? Personne ne sait. Sa banque lui propose un contrat simple : le droit d’acheter le blé à 220 € maximum, quoi qu’il arrive. Ce droit a un prix. Une prime.
Une question surgit vite. Comment fixer ce prix sans jouer à pile ou face ?
Une option, ce n’est pas une assurance classique
Un incendie détruit une boulangerie. Ou pas. Le risque reste binaire.
Le prix du blé, lui, bouge tous les jours. Parfois doucement. Parfois brutalement. Il existe une infinité de trajectoires possibles. Chaque variation compte.
C’est là que les options entrent en jeu :
- Une option call donne le droit d’acheter à un prix fixé.
- Une option put donne le droit de vendre à ce prix.
Le boulanger achète une protection. La banque vend un risque. Il faut un arbitrage juste.
Le marché suit un chemin… aléatoire
Les mathématiciens n’ont pas inventé la finance moderne dans une salle de marché. Ils l’ont d’abord observée dans la nature.
Au début du XXᵉ siècle, Albert Einstein décrit le mouvement brownien. Des particules bougent en permanence, sans direction prévisible (Einstein, 1905). Jean Perrin le confirme par l’expérience (1926).
Les prix financiers ressemblent à ces particules. Ils vibrent. Ils dérivent. Ils surprennent.
Les économistes adoptent donc ce cadre :
- Les cours évoluent en continu.
- Les variations restent aléatoires.
- La volatilité mesure l’amplitude moyenne de ces variations.
Plus un marché bouge, plus la protection coûte cher. Logique.
Simuler mille futurs possibles
Première approche : simuler.
À partir des données passées, nous générons des milliers d’évolutions possibles du prix du blé. Chaque trajectoire raconte un futur crédible.
Cette méthode porte un nom : Monte Carlo.
Les résultats parlent d’eux‑mêmes :
- Prix d’exercice à 220 € : prime autour de 8,5 €.
- Prix d’exercice à 240 € : prime proche de 4 €.
Plus le seuil monte, moins la protection sert. Le prix baisse.
La durée compte aussi. Plus l’échéance s’éloigne, plus le risque s’accumule.
Black, Scholes et l’idée brillante
En 1973, trois chercheurs changent de méthode. Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton cherchent à éliminer le hasard, pas à le simuler.
Ils utilisent une stratégie concrète : la couverture delta neutre.
L’idée reste simple :
- La banque vend une option.
- Elle achète une fraction précise de l’actif sous‑jacent.
- Elle ajuste cette fraction en continu.
Chaque petit mouvement du marché trouve une réponse immédiate. Le risque net tend vers zéro.
Résultat : le prix de l’option suit une équation déterministe, proche de celle de la diffusion de la chaleur.
Nous passons du chaos apparent à une formule.
Une formule, plusieurs mondes reliés
La résolution de cette équation donne la formule de Black‑Scholes.
Elle relie :
- Le prix de l’actif.
- Le prix d’exercice.
- La volatilité.
- Le taux sans risque.
- Le temps restant.
Un détail fascinant mérite l’attention.
Deux visions opposées aboutissent au même prix.
La vision microscopique, aléatoire, via les trajectoires possibles. La vision macroscopique, déterministe, via une équation. La formule de Feynman‑Kac formalise ce lien (Source : travaux de Feynman et Kac).
Un outil puissant… et tentant
Grâce à cette formule, le marché des dérivés explose. Les volumes atteignent environ 600 000 milliards de dollars à l’échelle mondiale (Source : BRI, BIS).
Les entreprises couvrent leurs risques. Les banques structurent des produits. Les traders parient.
Un glissement apparaît. Nous assurons parfois les biens des autres. Sans lien avec l’économie réelle.
Warren Buffett parle d’« armes financières » lorsqu’elles s’accumulent sans maîtrise (Source : lettres aux actionnaires).
Quand le modèle heurte la réalité
La formule repose sur des hypothèses claires :
- Marchés liquides.
- Absence de chocs extrêmes.
- Volatilité stable.
La réalité déborde souvent du cadre.
Nassim Taleb parle de cygnes noirs. Des événements rares. Des impacts massifs. Des modèles sourds au danger (Source : Taleb).
La crise du fonds Long‑Term Capital Management en 1998 en fournit un exemple marquant. Ironie cruelle : Merton et Scholes participaient à l’aventure, un an après leur prix Nobel.
Ce que nous devons retenir
La formule de Black‑Scholes reste un pilier. Elle structure encore la finance moderne.
Mais nous gagnons à garder trois réflexes :
- Un modèle simplifie toujours.
- Une hypothèse finit un jour par céder.
- La gestion du risque dépasse la formule.
Le boulanger voulait dormir tranquille. La formule l’aide. À condition de ne pas lui promettre l’impossible.
En finance, comme au fournil, la recette compte. Mais l’expérience fait la différence.
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